חקירה עם n זוגי ואי זוגיחקירת פונקציות 571 · שיעור 90
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571
שיעור 90: חקירה עם n זוגי ואי זוגי
תרגול עם סעיפי חשיבה 5 יחידות-שאלות קצרות
1🔵 סעיף א: נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
2🟣 סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות – n זוגי ו-n אי־זוגי
3🟢 סעיף ג: שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן – נגזרת של מכפלה
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = xn(x + 1)². נתון ש-n > 1 הוא מספר טבעי. הפונקציה מוגדרת לכל x.
א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ב. מצא את תחומי החיוביות ותחומי השליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
ג. מצא את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. הבע את תשובתך באמצעות n אם יש צורך. הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
🔵 סעיף א: נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ציר y: x = 0 ← f(0) = 0n(0 + 1)² = 0 ← (0 , 0)
ציר x: y = 0 ← xn(x + 1)² = 0
xn = 0 ← x = 0
(x + 1)² = 0 ← x = −1
✅ (0 , 0) , (−1 , 0)
🟣 סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות – n זוגי ו-n אי־זוגי
מצא את תחומי החיוביות ותחומי השליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
חיובית = מעל ציר x, שלילית = מתחת לציר x. נקודות החיתוך: x = −1 , x = 0.
(x + 1)² תמיד חיובי (חוץ מ-x = −1).
n זוגי (למשל n = 2): xn חיובי ← חיובי · חיובי ← הפונקציה תמיד חיובית, חוץ מ-x = 0 , x = −1.
n אי־זוגי (למשל x³(x + 1)²): הסימן של xn תלוי ב-x.
x > 0 (למשל 2: 2³ = 8) ← חיובי · חיובי ← חיובית.
x < 0 (למשל −2: (−2)³ = −8) ← שלילי · חיובי ← שלילית.
✅
n זוגי: חיובית: x < −1 , −1 < x < 0 , x > 0; שלילית: אין
n אי־זוגי: חיובית: x > 0; שלילית: x < −1 , −1 < x < 0
n זוגי: חיובית: x < −1 , −1 < x < 0 , x > 0; שלילית: אין
n אי־זוגי: חיובית: x > 0; שלילית: x < −1 , −1 < x < 0
🟢 סעיף ג: שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן – נגזרת של מכפלה
מצא את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. הבע את תשובתך באמצעות n אם יש צורך. הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
נגזרת מכפלה: (f·g)′ = f′·g + g′·f
f′(x) = n·xn−1(x+1)²
+ 2(x+1)·xn
f′(x) = 0 ← גורם משותף xn−1(x + 1):
xn−1(x+1)[n(x+1) + 2x] = 0
xn−1(x + 1)(nx + n + 2x) = 0
xn−1 = 0 ← x = 0
x + 1 = 0 ← x = −1
nx + 2x + n = 0 ← x(n + 2) = −n ← x = −nn + 2
🟢 סעיף ג: שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן – נגזרת של מכפלה · המשך
nx + 2x + n = 0 ← x(n + 2) = −n ← x = −nn + 2
הסדר: −1 < −nn + 2 < 0 (למשל n = 2: −24 = −12).
במקום להציב בנגזרת – משתמשים בסעיף ב: יודעים איפה הפונקציה חיובית ושלילית, ונקודות החיתוך הן גם נקודות קיצון חשודות.
n זוגי: הפונקציה תמיד חיובית ונוגעת בציר ב-−1 וב-0:
| x | −1 | −nn + 2 | 0 | ||||
| f′(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | min | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
n אי־זוגי: שלילית משמאל ל-0 (נוגעת בציר ב-−1) וחיובית מימין ל-0:
🟢 סעיף ג: שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן – נגזרת של מכפלה · המשך
n אי־זוגי: שלילית משמאל ל-0 (נוגעת בציר ב-−1) וחיובית מימין ל-0:
| x | −1 | −nn + 2 | 0 | ||||
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | min | ↗ | ↗ |
ב-x = 0: הפונקציה עולה משני הצדדים (n − 1 זוגי, הנגזרת לא מחליפה סימן) ← לא נקודת קיצון.
✅
n זוגי: min x = −1 , max x = −nn + 2 , min x = 0
n אי־זוגי: max x = −1 , min x = −nn + 2 ; ב-x = 0 אין קיצון
n זוגי: min x = −1 , max x = −nn + 2 , min x = 0
n אי־זוגי: max x = −1 , min x = −nn + 2 ; ב-x = 0 אין קיצון
📌 לזכור
💡
xn עם n זוגי – תמיד חיובי (חוץ מ-0); עם n אי־זוגי – הסימן כמו של x. מקרה פרטי (n = 2 , n = 3) עוזר להבין, אבל התשובה נכתבת עם n.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא